ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ม.2 เข้าใจที่มาและใช้แก้โจทย์ได้จริง

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส บอกว่า ในสามเหลี่ยมมุมฉาก กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับผลบวกของกำลังสองของอีกสองด้าน เขียนสั้น ๆ ว่า $c^2 = a^2 + b^2$ เมื่อรู้ความยาวสองด้าน เราหาด้านที่สามได้ทันที และถ้ารู้ครบสามด้าน ก็ใช้ตรวจได้ว่าสามเหลี่ยมนั้นเป็นมุมฉากหรือไม่

ตัวชี้วัด ค 2.2 ม.2/5 ให้น้อง ม.2 เข้าใจและใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสและบทกลับในการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์และปัญหาในชีวิตจริง ตามลำดับหนังสือเรียนเป็นบทแรกของ ม.2 ภาคเรียนที่ 1 ช่วงนี้ใกล้สอบปลายภาคตามปฏิทินโรงเรียน จึงเป็นจังหวะดีที่จะทวนให้เข้าใจที่มา ไม่ใช่แค่จำสูตร

บทนี้ใช้การยกกำลังสองและการหาพื้นที่ตลอด ถ้าอยากทวน ดู เลขยกกำลัง ม.1 และ พื้นที่และความยาวรอบรูป ประกอบได้

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสคืออะไร รู้จักด้านทั้งสามก่อน

ขั้นแรกของทุกข้อคือ หาให้เจอว่าด้านไหนคือ $c$ ถ้าระบุผิดตั้งแต่ต้น ต่อให้คำนวณถูกทุกขั้นก็ได้คำตอบผิด

ทำไมถึงเป็นจริง: พิสูจน์ด้วยการจัดพื้นที่

ลองวาดสี่เหลี่ยมจัตุรัสใหญ่ที่มีด้านยาว $a + b$ แล้ววางสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้าน $a$, $b$, $c$ ไว้ที่มุมทั้งสี่มุม พื้นที่ตรงกลางที่เหลือจะเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านยาว $c$

คิดพื้นที่สี่เหลี่ยมใหญ่สองแบบแล้วจับให้เท่ากัน

กระจายด้านซ้าย

ลบ $2ab$ ทั้งสองข้าง ได้

ลองตัดกระดาษทำตามดูจริง ๆ จะเห็นภาพชัดกว่าอ่านอย่างเดียว และช่วยให้จำได้นานกว่า เพราะรู้ว่าสูตรมาจากไหน

ใช้หาด้านที่ไม่รู้ 2 แบบ

แบบที่ 1: หาด้านตรงข้ามมุมฉาก

สามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านประกอบมุมฉากยาว 6 และ 8 เซนติเมตร

แบบที่ 2: หาด้านประกอบมุมฉาก

ด้านตรงข้ามมุมฉากยาว 13 และด้านประกอบมุมฉากด้านหนึ่งยาว 5

สังเกตว่าแบบที่ 2 ใช้ ลบ ไม่ใช่บวก เพราะเรากำลังหาด้านที่สั้นกว่า

เมื่อคำตอบถอดรากไม่ลงตัว

ด้านประกอบมุมฉากยาว 1 และ 2 หน่วย จะได้ $c^2 = 1 + 4 = 5$ ดังนั้น $c = \sqrt{5}$ ซึ่งประมาณ $2.24$ หน่วย คำตอบแบบนี้ถูกต้อง ไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนเต็มเสมอไป

บทกลับ: ตรวจว่าเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากไหม

ถ้าด้านที่ยาวที่สุด $c$ ทำให้ $c^2 = a^2 + b^2$ สามเหลี่ยมนั้นเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก

ชุดตัวเลขที่เจอบ่อยในโจทย์คือ $(3, 4, 5)$, $(5, 12, 13)$, $(8, 15, 17)$ และ $(7, 24, 25)$ รวมถึงชุดที่คูณด้วยจำนวนเดียวกัน เช่น $(6, 8, 10)$

โจทย์ชีวิตจริง

บันไดพาดกำแพง ช่างทาสีพาดบันไดยาว 5 เมตรกับผนังบ้าน ให้โคนบันไดห่างจากผนัง 1.4 เมตร ปลายบันไดสูงจากพื้นเท่าไร

1. วาดรูป ผนังตั้งฉากกับพื้น บันไดคือด้านตรงข้ามมุมฉาก $c = 5$
2. $h^2 = 5^2 - 1.4^2 = 25 - 1.96 = 23.04$
3. $h = \sqrt{23.04} = 4.8$ เมตร
4. ตรวจ: $4.8^2 + 1.4^2 = 23.04 + 1.96 = 25 = 5^2$ ถูกต้อง

เดินทางลัด น้องเดินจากบ้านไปทางทิศเหนือ 9 กิโลเมตร แล้วเลี้ยวไปทางทิศตะวันออก 12 กิโลเมตร ถ้าเดินตรงจากบ้านไปจุดหมายเลย จะเป็นระยะ $\sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{225} = 15$ กิโลเมตร

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

• ใช้กับสามเหลี่ยมที่ไม่มีมุมฉาก ต้องเช็กก่อนทุกครั้งว่ามีมุม 90 องศา
• ระบุ $c$ ผิด เอาด้านที่ไม่ได้อยู่ตรงข้ามมุมฉากไปเป็น $c$ ให้วงด้านตรงข้ามมุมฉากในรูปก่อนเริ่ม
• คิดว่า $c = a + b$ เช่น ด้าน 6 กับ 8 แล้วตอบ 14 ทั้งที่คำตอบคือ 10 จำไว้ว่าผลบวกของสองด้านต้องยาวกว่าด้านที่สามเสมอ
• ลืมถอดรากที่สอง ได้ $c^2 = 100$ แล้วตอบ 100 ให้ถามตัวเองว่าตอบค่า $c$ หรือ $c^2$
• หน่วยไม่ตรงกัน ด้านหนึ่งเป็นเมตร อีกด้านเป็นเซนติเมตร ต้องแปลงให้เป็นหน่วยเดียวกันก่อน

ข้อไหนที่พลาดบ่อย ลองจดประเภทข้อผิดไว้ตามวิธีใน วิเคราะห์ข้อผิดพลาดหลังสอบ จะเห็นว่าส่วนใหญ่พลาดที่ขั้นอ่านรูป ไม่ใช่ขั้นคำนวณ

โจทย์ฝึกพร้อมเฉลย

1. ด้านประกอบมุมฉากยาว 9 และ 40 หน่วย ด้านตรงข้ามมุมฉากยาวเท่าไร
2. ด้านตรงข้ามมุมฉากยาว 25 ด้านประกอบมุมฉากด้านหนึ่งยาว 7 อีกด้านยาวเท่าไร
3. สามเหลี่ยมที่มีด้านยาว 10, 24, 26 เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่
4. น้องปล่อยว่าวที่สนามโรงเรียน สายว่าวตึงยาว 50 เมตร ว่าวอยู่ห่างจากตัวน้องในแนวราบ 30 เมตร ว่าวสูงจากมือน้องกี่เมตร (สมมติสายตึงเป็นเส้นตรง)
5. สามเหลี่ยมด้าน 4, 5, 6 เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่

เฉลย

1. $c^2 = 81 + 1{,}600 = 1{,}681$ ได้ $c = 41$
2. $b^2 = 625 - 49 = 576$ ได้ $b = 24$
3. $10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676 = 26^2$ เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก
4. $h^2 = 50^2 - 30^2 = 2{,}500 - 900 = 1{,}600$ ได้ $h = 40$ เมตร
5. $4^2 + 5^2 = 41$ แต่ $6^2 = 36$ ไม่เท่ากัน จึงไม่ใช่สามเหลี่ยมมุมฉาก

ตีโจทย์ออกแบบมาให้ช่วยบทนี้ตรงไหน

เมื่อเปิดให้ใช้ ตีโจทย์ออกแบบให้

• คำใบ้ 5 ระดับ เริ่มจากถามว่า "มุมฉากอยู่ตรงไหน ด้านไหนอยู่ตรงข้าม" ก่อนเตือนสูตรหรือทำขั้นแรกให้ดู น้องต้องลองเองก่อนเปิดคำใบ้ขั้นสูง
• เฉลยละเอียด 6 ส่วน มีขั้นตรวจคำตอบด้วยการแทนค่ากลับ และข้อคล้ายกันให้ลองต่อ
• ตารางติวสอบอัตโนมัติ ในสาย "ตีโจทย์ เตรียมสอบ" ลงวันสอบปลายภาคกับเวลาว่าง แล้วได้บล็อกทบทวนพร้อมสอบจำลองก่อนสอบ
• รายงานผู้ปกครองรายสัปดาห์ทาง LINE เทียบกับตัวน้องเอง พร้อมเรื่องชวนคุย เช่น ลองวัดทแยงมุมโต๊ะที่บ้านด้วยกัน

สรุป

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสใช้กับสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น หาด้านตรงข้ามมุมฉากให้เจอก่อน หาด้านนี้ให้บวกกำลังสอง หาด้านที่สั้นกว่าให้ลบ แล้วอย่าลืมถอดรากที่สอง บทกลับช่วยเช็กว่าสามเหลี่ยมเป็นมุมฉากหรือไม่ และโจทย์ชีวิตจริงทุกข้อเริ่มจากการวาดรูปให้เห็นมุมฉาก

ตีโจทย์กำลังเตรียมเปิดให้ใช้ ถ้าอยากลองเป็นกลุ่มแรก ลงชื่อรอไว้ได้ที่หน้าแรกของ teejot.com