เลขยกกำลัง ม.1 กฎการคูณหารที่มักสับสน พร้อมตัวอย่าง

เลขยกกำลัง ม.1 คือวิธีเขียนการคูณจำนวนเดิมซ้ำ ๆ ให้สั้นลง เช่น $2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$ เขียนเป็น $2^5$ อ่านว่า "สองยกกำลังห้า" มีค่าเท่ากับ 32 ตัวชี้วัด ม.1 (ค 1.1 ม.1/2) ให้น้องเข้าใจและใช้สมบัติของเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่งหัวใจอยู่ที่กฎการคูณและการหาร

ปัญหาที่เจอบ่อยไม่ใช่เพราะกฎยาก แต่เพราะกฎคล้ายกันจนสับสน เช่น ตอนไหนต้องบวกเลขชี้กำลัง ตอนไหนต้องคูณ หรือเครื่องหมายลบอยู่ในวงเล็บหรือนอกวงเล็บ บทความนี้จะพากางทุกกฎออกเป็นการคูณซ้ำ เพื่อให้เห็นที่มา แล้วน้องจะเช็กเองได้ทุกครั้งที่ลังเล

บทนี้ใช้การคูณจำนวนลบบ่อยมาก ถ้าอยากทวนกฎเครื่องหมาย อ่าน จำนวนเต็ม ม.1 ประกอบได้

ส่วนประกอบของเลขยกกำลัง

สิ่งที่ต้องจำให้แม่นตั้งแต่ต้นคือ $2^5$ ไม่ใช่ $2 \times 5$ เพราะ $2^5 = 32$ แต่ $2 \times 5 = 10$

ฐานติดลบ ดูวงเล็บให้ดี

ถ้ามีวงเล็บ ฐานคือ $-2$ ทั้งก้อน ถ้าไม่มีวงเล็บ ฐานคือ $2$ แล้วค่อยใส่ลบข้างหน้า และเมื่อฐานเป็นลบ เลขชี้กำลังคู่ให้ผลบวก เลขชี้กำลังคี่ให้ผลลบ ตรงกับกฎการนับเครื่องหมายลบในบทจำนวนเต็ม

กฎการคูณเลขยกกำลัง ม.1: ฐานเดียวกัน บวกเลขชี้กำลัง

ที่มา ลองกาง $5^3 \times 5^4$

นับได้ 5 ทั้งหมด 7 ตัว จึงได้ $5^{3+4} = 5^7 = 78{,}125$

ใช้กับตัวแปรได้เหมือนกัน $x^3 \cdot x^6 = x^9$

ข้อควรระวัง กฎนี้ใช้เมื่อฐานเหมือนกันเท่านั้น $2^3 \times 3^2$ รวมเป็น $6^5$ ไม่ได้ ลองเทียบค่า $2^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = 72$ แต่ $6^5 = 7{,}776$ ต่างกันมาก

กฎการหารเลขยกกำลัง: ฐานเดียวกัน ลบเลขชี้กำลัง

ที่มา กาง $\dfrac{7^8}{7^5}$ แล้วตัดตัวที่ซ้ำกันบนล่างออกทีละคู่ 5 คู่ จะเหลือ 7 ด้านบน $8 - 5 = 3$ ตัว

ส่วนเงื่อนไข $a \neq 0$ มีเพราะเราหารด้วยศูนย์ไม่ได้ และตอน ม.1 จะทำกับกรณีที่ $m > n$ เป็นหลัก การขยายไปถึงเลขชี้กำลังเป็นศูนย์และจำนวนลบจะได้เรียนต่อในบทสมบัติของเลขยกกำลังชั้น ม.2

ตัวอย่างรวมทีละขั้น

ตัวอย่างที่ 1 หาค่า $\dfrac{2^3 \times 2^5}{2^4}$

1. คูณข้างบนก่อน ฐานเดียวกันบวกเลขชี้กำลัง $2^{3+5} = 2^8$
2. หารด้วย $2^4$ ลบเลขชี้กำลัง $2^{8-4} = 2^4$
3. หาค่า $2^4 = 16$

ตรวจ: $2^3 \times 2^5 = 8 \times 32 = 256$ และ $256 \div 16 = 16$ ตรงกัน

ตัวอย่างที่ 2 (ชีวิตจริง) น้องส่งข้อความชวนไปงานวัดให้เพื่อน 3 คน แต่ละคนส่งต่อให้อีก 3 คน เป็นทอด ๆ ถ้าไม่มีใครได้ซ้ำ รอบที่ 5 จะมีคนได้รับข้อความใหม่กี่คน

รอบที่ 1 ได้ $3$ คน รอบที่ 2 ได้ $3 \times 3 = 3^2$ คน ต่อไปแบบนี้ รอบที่ 5 จึงได้ $3^5 = 243$ คน นี่คือเหตุผลที่ข่าวลือในแชตกลุ่มกระจายเร็วมาก

ตัวอย่างที่ 3 (จำนวนใหญ่) หนึ่งปีปกติมี $365 \times 24 \times 3{,}600 = 31{,}536{,}000$ วินาที เขียนแบบสั้นในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ได้ประมาณ $3.15 \times 10^7$ วินาที เลขยกกำลังของ 10 ช่วยให้อ่านจำนวนใหญ่ได้ทันทีว่ามีกี่หลัก

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

เวลาลังเล ให้กางออกเป็นการคูณซ้ำสักข้อ แล้วนับจำนวนตัวเอง วิธีนี้ช้ากว่านิดหน่อย แต่ช่วยให้เชื่อกฎได้จากความเข้าใจ

ฝึกแยกกฎให้ออก ไม่ใช่ฝึกทีละกฎ

หลายคนทำแบบฝึกหัดท้ายหัวข้อการคูณได้ครบ ทำหัวข้อการหารก็ได้ครบ แต่พอเจอข้อสอบที่ปนกันกลับสับสน เพราะตอนฝึกไม่เคยต้องตัดสินใจว่าจะใช้กฎไหน ลองฝึกแบบนี้แทน

1. เขียนโจทย์สั้น ๆ 6–8 ข้อ ให้มีทั้งการคูณ การหาร ฐานติดลบ และฐานต่างกันปนกัน
2. ก่อนคำนวณ ให้เขียนกำกับหน้าข้อก่อนว่าจะใช้ "บวกเลขชี้กำลัง" "ลบเลขชี้กำลัง" หรือ "ใช้กฎไม่ได้ ต้องหาค่าเอง"
3. ทำเสร็จแล้วสุ่มกางออกเป็นการคูณซ้ำสัก 2 ข้อเพื่อตรวจ

ขั้นที่ 2 คือขั้นที่ช่วยมากที่สุด เพราะเป็นการฝึกดูรูปของโจทย์ ซึ่งเป็นสิ่งที่ข้อสอบวัดจริง ๆ

โจทย์ฝึกพร้อมเฉลย

1. $3^2 \times 3^3$
2. $(-1)^{25}$
3. $\dfrac{6^7}{6^5}$
4. $\dfrac{a^4 \cdot a^5}{a^6}$ เมื่อ $a \neq 0$
5. จำนวน $2{,}560{,}000$ เขียนในรูป $A \times 10^n$ เมื่อ $1 \le A < 10$ ได้อย่างไร

เฉลย

1. $3^{2+3} = 3^5 = 243$
2. ฐานเป็นลบ เลขชี้กำลัง 25 เป็นเลขคี่ ผลจึงเป็น $-1$
3. $6^{7-5} = 6^2 = 36$
4. ข้างบน $a^{4+5} = a^9$ แล้วหาร $a^{9-6} = a^3$
5. $2.56 \times 10^6$ (เลื่อนจุดทศนิยมไปทางซ้าย 6 ตำแหน่ง)

ข้อที่ยังพลาด ให้จดไว้ว่าพลาดเพราะกฎไหน แล้วเอาไปฝึกซ้ำในแผนทบทวน ถ้ากำลังเตรียมสอบ ดู วางแผนอ่านหนังสือสอบกลางภาค ประกอบได้ ส่วนการจัดรูปนิพจน์แบบนี้จะได้ใช้อีกเยอะใน สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

ตีโจทย์ออกแบบมาให้ช่วยตรงไหน

เมื่อเปิดให้ใช้ ตีโจทย์ออกแบบบทเลขยกกำลังไว้ให้

• คำใบ้ทีละขั้น เริ่มจากถามว่า "ลองกางออกเป็นการคูณซ้ำดูไหม" ก่อนจะเตือนกฎหรือทำขั้นแรกให้ดู ไม่เฉลยทันที
• เฉลยละเอียด 6 ส่วน ชี้ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย เช่น การคูณเลขชี้กำลังแทนการบวก แล้วให้ข้อคล้ายกันลองต่อ
• ทบทวนแบบเว้นระยะอัตโนมัติ ให้กฎที่คล้ายกันกลับมาเจอสลับกันเป็นระยะ ฝึกแยกแยะว่าข้อไหนใช้กฎไหน
• หน้าจอจับเวลาที่ซ่อนนาฬิกาได้ และเทียบกับตัวเองครั้งก่อน เหมาะกับช่วงซ้อมทำข้อสอบ

สรุป

เลขยกกำลังคือการคูณซ้ำ ฐานบอกว่าคูณอะไร เลขชี้กำลังบอกว่าคูณกี่ตัว ฐานติดลบต้องดูวงเล็บ การคูณฐานเดียวกันให้บวกเลขชี้กำลัง การหารฐานเดียวกันให้ลบเลขชี้กำลัง และฐานต่างกันใช้กฎนี้ไม่ได้ เมื่อไรที่ไม่แน่ใจ ให้กางออกแล้วนับเอง

ตีโจทย์กำลังเตรียมเปิดให้ใช้ ถ้าอยากลองเป็นกลุ่มแรก ลงชื่อรอไว้ได้ที่หน้าแรกของ teejot.com