แยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสอง ม.2 เลือกวิธีให้ถูกกับโจทย์

แยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสอง คือการเขียนพหุนามอย่าง $x^2 + 5x + 6$ ให้อยู่ในรูปผลคูณ $(x + 2)(x + 3)$ เป็นการทำย้อนกลับของการกระจาย ความยากของบทนี้ไม่ได้อยู่ที่การคำนวณ แต่อยู่ที่การดูหน้าตาโจทย์แล้ว เลือกวิธีให้ถูก บทความนี้จึงเริ่มจากลำดับคิด 4 ขั้นที่ใช้ได้กับทุกข้อ แล้วค่อยลงรายละเอียดทีละวิธี

ตัวชี้วัด ค 1.2 ม.2/2 ให้น้อง ม.2 เข้าใจและใช้การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองในการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์ ตามลำดับหนังสือเรียนบทนี้อยู่ในภาคเรียนที่ 2 ของ ม.2 ต่อจากบทพหุนาม ส่วนน้อง ม.3 ที่กำลังทวนเรื่องการแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสูงกว่าสองและสมการกำลังสองก่อนสอบปลายภาค ก็ใช้ทักษะชุดนี้เป็นฐานเต็ม ๆ

ก่อนเริ่ม ควรคล่องเรื่องการคูณเลขยกกำลังและการกระจายวงเล็บ ถ้ายังไม่แน่ใจ ทวนได้ที่ เลขยกกำลัง ม.1

ลำดับคิด 4 ขั้น ก่อนแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสอง

ขั้นที่ 1 สำคัญที่สุดและถูกลืมบ่อยที่สุด ดึงตัวร่วมออกก่อนเสมอ ตัวเลขที่เหลือจะเล็กลงและมองรูปง่ายขึ้น

วิธีที่ 1: ดึงตัวร่วม

ทั้ง $3x^2$ และ $12x$ หารด้วย $3x$ ลงตัว เหลือ $x$ กับ $4$

ตรวจ: $3x \cdot x + 3x \cdot 4 = 3x^2 + 12x$ ตรงกับโจทย์

วิธีที่ 2: ผลต่างกำลังสอง

รวมกับขั้นที่ 1 ได้ เช่น

ข้อสังเกต $x^2 + 9$ เป็น ผลบวก ของกำลังสอง ไม่ใช่ผลต่าง จึงแยกด้วยวิธีนี้ไม่ได้

วิธีที่ 3: กำลังสองสมบูรณ์

หัวคือ $x^2$ ท้ายคือ $25 = 5^2$ พจน์กลางคือ $10x = 2 \cdot x \cdot 5$ เข้าเงื่อนไขครบ

ถ้าพจน์กลางเป็นลบ เช่น $x^2 - 12x + 36 = (x - 6)^2$

วิธีที่ 4: รูป $ax^2 + bx + c$

กรณี $a = 1$: หาสองจำนวนที่คูณได้ $c$ บวกได้ $b$

ตัวอย่าง $x^2 + 5x + 6$ หาสองจำนวนที่คูณได้ $6$ บวกได้ $5$ คือ $2$ กับ $3$

ตัวอย่าง $x^2 - 2x - 15$ คูณได้ $-15$ บวกได้ $-2$ ลองไล่คู่ตัวประกอบของ 15 ได้ $-5$ กับ $3$

เคล็ดลับเรื่องเครื่องหมาย ถ้า $c$ เป็นบวก สองจำนวนมีเครื่องหมายเหมือนกัน (ตามเครื่องหมายของ $b$) ถ้า $c$ เป็นลบ สองจำนวนมีเครื่องหมายต่างกัน

กรณี $a \neq 1$: ใช้ผลคูณ $ac$

ตัวอย่าง $6x^2 - x - 2$

1. $ac = 6 \times (-2) = -12$ หาสองจำนวนที่คูณได้ $-12$ บวกได้ $-1$ คือ $-4$ กับ $3$
2. แตกพจน์กลาง $6x^2 - 4x + 3x - 2$
3. จับกลุ่ม $2x(3x - 2) + 1(3x - 2)$
4. ดึงวงเล็บที่เหมือนกันออก $(3x - 2)(2x + 1)$

ตรวจ: $(2x + 1)(3x - 2) = 6x^2 - 4x + 3x - 2 = 6x^2 - x - 2$ ตรงกับโจทย์

หลายห้องเรียนสอนแบบ "คูณไขว้" ซึ่งให้คำตอบเดียวกัน เลือกวิธีที่น้องถนัดได้ ขอแค่ตรวจด้วยการกระจายกลับทุกครั้ง

ตัวอย่างชีวิตจริง: แปลงผักหลังบ้าน

แปลงผักรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีพื้นที่ $x^2 + 7x + 12$ ตารางเมตร โดยความกว้างและความยาวเขียนในรูป $x +$ จำนวนเต็มบวก ด้านทั้งสองยาวเท่าไร

หาสองจำนวนที่คูณได้ 12 บวกได้ 7 คือ 3 กับ 4 จึงได้ $(x + 3)(x + 4)$ ด้านกว้าง $x + 3$ เมตร ด้านยาว $x + 4$ เมตร ถ้า $x = 2$ แปลงนี้กว้าง 5 เมตร ยาว 6 เมตร พื้นที่ $30$ ตารางเมตร ตรงกับ $2^2 + 7(2) + 12 = 30$

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

• ลืมดึงตัวร่วมก่อน เช่น $2x^2 - 8x - 24$ ถ้าแยกตรง ๆ จะติดเพราะตัวเลขใหญ่ ที่ถูกคือ $2(x^2 - 4x - 12) = 2(x - 6)(x + 2)$
• แยก $x^2 + 9$ เป็น $(x + 3)(x - 3)$ ลองกระจายกลับจะได้ $x^2 - 9$ ไม่ตรงกับโจทย์
• คิดว่า $(x + 3)^2 = x^2 + 9$ ที่ถูกคือ $x^2 + 6x + 9$ อย่าลืมพจน์กลาง $2AB$
• เครื่องหมายสลับ หาได้ $5$ กับ $-3$ ทั้งที่ต้องการผลบวก $-2$ ให้เช็กทั้งผลคูณและผลบวกก่อนเขียนคำตอบ
• แยกไม่สุด เช่น ได้ $2(x^2 - 9)$ แล้วหยุด ทั้งที่ $x^2 - 9$ ยังแยกต่อได้

โจทย์ฝึกพร้อมเฉลย

1. $x^2 + 7x + 12$
2. $4x^2 - 25$
3. $x^2 - 12x + 36$
4. $3x^2 - 10x - 8$
5. $2x^2 - 8x - 24$

เฉลย

1. คูณได้ 12 บวกได้ 7 คือ 3 กับ 4 ได้ $(x + 3)(x + 4)$
2. $(2x)^2 - 5^2 = (2x + 5)(2x - 5)$
3. $36 = 6^2$ และ $12x = 2 \cdot x \cdot 6$ ได้ $(x - 6)^2$
4. $ac = -24$ หาสองจำนวนที่คูณได้ $-24$ บวกได้ $-10$ คือ $-12$ กับ $2$ แตกพจน์ $3x^2 - 12x + 2x - 8 = 3x(x - 4) + 2(x - 4) = (3x + 2)(x - 4)$
5. $2(x^2 - 4x - 12) = 2(x - 6)(x + 2)$

ทุกข้อตรวจได้ด้วยการกระจายกลับ ลองทำเองสักข้อสองข้อ แล้วจะเห็นว่าเชื่อมกับการจัดรูปใน สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว อย่างไร ถ้าช่วงนี้ต้องแบ่งเวลาอ่านหลายวิชาพร้อมกัน ดูวิธีจัดได้ที่ อ่านหนังสือสอบหลายวิชา

ตีโจทย์ออกแบบให้ฝึกบทนี้อย่างไร

เมื่อเปิดให้ใช้ ตีโจทย์ออกแบบไว้ให้

• คำใบ้ 5 ระดับ เริ่มจากถามว่า "มีตัวร่วมไหม" หรือ "พหุนามนี้มีกี่พจน์" ก่อนเตือนสูตร ทำขั้นแรกให้ดู และยกข้อคล้ายกัน ไม่เฉลยทันที
• เฉลยละเอียด 6 ส่วน ทุกข้อมีขั้นตรวจด้วยการกระจายกลับ และบอกข้อผิดพลาดที่พบบ่อยของรูปนั้น
• ทบทวนแบบเว้นระยะอัตโนมัติ ให้สี่วิธีกลับมาเจอปนกัน ฝึกเลือกวิธีจากหน้าตาโจทย์
• ตารางติวสอบอัตโนมัติ ใส่วันสอบและเวลาว่าง ได้บล็อกทบทวนพร้อมสอบจำลองก่อนสอบ และปรับเองเมื่อแผนคลาดเคลื่อน

สรุป

การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสองเริ่มจากถามตามลำดับ ดึงตัวร่วมก่อน แล้วดูว่าเป็นผลต่างกำลังสอง กำลังสองสมบูรณ์ หรือต้องหาสองจำนวนจากรูป $ax^2 + bx + c$ ทุกคำตอบตรวจได้ด้วยการกระจายกลับ และต้องแยกให้สุดทุกครั้ง ฝึกแบบปนหลายรูปจะช่วยให้เลือกวิธีได้เองในห้องสอบ

ตีโจทย์กำลังเตรียมเปิดให้ใช้ ถ้าอยากลองเป็นกลุ่มแรก ลงชื่อรอไว้ได้ที่หน้าแรกของ teejot.com