อัตราส่วนและสัดส่วน ม.1 เข้าใจด้วยตัวอย่างใกล้ตัว

ชงชาเย็นให้อร่อยเท่าเดิมแต่ทำทีละหลายแก้ว ทำขนมครกให้ได้จำนวนมากขึ้นโดยรสชาติไม่เพี้ยน หรือดูแผนที่แล้วรู้ว่าบ้านยายห่างกี่กิโลเมตร ทั้งหมดนี้คือเรื่อง อัตราส่วนและสัดส่วน ซึ่งเป็นบทสำคัญของคณิตศาสตร์ ม.1 และเป็นฐานของร้อยละ มาตราส่วน และวิทยาศาสตร์อีกหลายเรื่อง

ช่วงปิดเทอมก่อนขึ้น ม.1 เป็นจังหวะดีที่จะปูพื้นเรื่องนี้แบบสบาย ๆ บทความนี้เริ่มจากความหมาย อัตราส่วนที่เท่ากัน สัดส่วนและการคูณไขว้ อัตราส่วนหลายจำนวน ไปจนถึงการแบ่งของตามอัตราส่วน พร้อมข้อผิดพลาดที่พบบ่อยและแบบฝึกหัดมีเฉลย

เรียนชั้นไหน ต่อยอดจากอะไร

ตามตัวชี้วัดคณิตศาสตร์ในหลักสูตรแกนกลางฉบับปรับปรุง 2560 ของ สสวท.

• ป.5 แก้โจทย์ด้วยบัญญัติไตรยางศ์
• ป.6 อัตราส่วน อัตราส่วนที่เท่ากัน มาตราส่วน และโจทย์ปัญหาอัตราส่วน
• ม.1 อัตราส่วนของจำนวนหลาย ๆ จำนวน สัดส่วน และการนำอัตราส่วน สัดส่วน ร้อยละ ไปแก้ปัญหา

อัตราส่วนเขียนเป็นเศษส่วนได้ การลดรูปจึงใช้หลักเดียวกับเศษส่วน ถ้าลูกยังไม่คล่อง ย้อนดู บวกลบเศษส่วน ได้

อัตราส่วนและสัดส่วนคืออะไร เริ่มจากอัตราส่วน

อัตราส่วน $a:b$ (อ่านว่า a ต่อ b) คือการเปรียบเทียบปริมาณสองปริมาณ เขียนเป็น $\frac{a}{b}$ ได้

ตัวอย่าง สูตรชาเย็นของร้านหนึ่ง ใช้ชา 2 ส่วนต่อนม 1 ส่วน เขียนว่า ชา : นม = 2 : 1

สิ่งสำคัญคือ ลำดับ ชา : นม = 2 : 1 ไม่เหมือนกับ นม : ชา = 2 : 1 เพราะรสชาติต่างกันคนละแก้ว

อัตราส่วนที่เท่ากัน

คูณหรือหารทั้งสองจำนวนด้วยจำนวนเดียวกัน (ที่ไม่ใช่ศูนย์) ได้อัตราส่วนที่เท่ากัน

ลดรูป $12:18$ หารทั้งคู่ด้วย 6 ได้ $2:3$

สัดส่วนและวิธีคูณไขว้

สัดส่วน คือประโยคที่บอกว่าอัตราส่วนสองอัตราส่วนเท่ากัน เช่น $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ ซึ่งจะเป็นจริงเมื่อ $a\times d=b\times c$ (คูณไขว้)

ตัวอย่างที่ 1 ขนมครก

สูตรของแม่ ใช้แป้ง 2 ถ้วยทำขนมครกได้ 30 ลูก ถ้าอยากได้ 75 ลูก ต้องใช้แป้งกี่ถ้วย

1. เขียนลำดับให้ตรงกัน แป้ง : ขนมครก
2. ตั้งสัดส่วน $\frac{2}{30}=\frac{x}{75}$
3. คูณไขว้ $30x=2\times 75=150$
4. หาค่า $x=\frac{150}{30}=5$ ถ้วย
5. ตรวจ $\frac{5}{75}=\frac{1}{15}$ และ $\frac{2}{30}=\frac{1}{15}$ เท่ากัน

ตัวอย่างที่ 2 อัตราเร็ว

รถวิ่งได้ 180 กิโลเมตรใน 3 ชั่วโมง ถ้าวิ่งด้วยอัตราเร็วเท่าเดิม 5 ชั่วโมงจะได้กี่กิโลเมตร

ตัวอย่างที่ 3 มาตราส่วนแผนที่

แผนที่มาตราส่วน 1 : 50,000 หมายความว่า 1 เซนติเมตรบนแผนที่ แทนระยะจริง 50,000 เซนติเมตร ถ้าวัดบนแผนที่ได้ 4 เซนติเมตร

จุดที่ต้องระวังคือการเปลี่ยนหน่วย (100 ซม. = 1 ม. และ 1,000 ม. = 1 กม.)

อัตราส่วนหลายจำนวน (ม.1)

ถ้า $a:b=2:3$ และ $b:c=4:5$ จะหา $a:b:c$ ต้องทำให้ $b$ ซึ่งเป็นตัวที่อยู่ในทั้งสองอัตราส่วนเท่ากันก่อน

1. $b$ มีค่า 3 กับ 4 ตัวร่วมที่น้อยที่สุดคือ 12
2. $a:b=2:3=8:12$ (คูณ 4)
3. $b:c=4:5=12:15$ (คูณ 3)
4. ได้ $a:b:c=8:12:15$

แบ่งของตามอัตราส่วน

พี่น้องสามคนช่วยกันขายของออนไลน์ได้กำไร 900 บาท ตกลงแบ่งตามเวลาที่ช่วยเป็นอัตราส่วน 2 : 3 : 4

1. รวมส่วน $2+3+4=9$ ส่วน
2. หนึ่งส่วน $=900\div 9=100$ บาท
3. ได้คนละ 200, 300 และ 400 บาท
4. ตรวจ $200+300+400=900$

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

1. สลับลำดับ โจทย์ให้ "นม : ชา" แต่ตั้งเป็น ชา : นม ก่อนตั้งสัดส่วนให้เขียนชื่อปริมาณกำกับไว้เหนือตัวเลขทุกครั้ง
2. บวกแทนคูณ คิดว่า $2:3$ เท่ากับ $4:5$ เพราะ "บวก 2 ทั้งคู่" อัตราส่วนที่เท่ากันได้จากการคูณหรือหารเท่านั้น ลองเช็กด้วยการคูณไขว้ $2\times 5=10$ แต่ $3\times 4=12$ ไม่เท่ากัน
3. หน่วยไม่ตรงกัน เทียบเซนติเมตรกับเมตรโดยไม่แปลงก่อน
4. ใช้สัดส่วนกับเรื่องที่ไม่เป็นสัดส่วน เช่น ค่าแท็กซี่ที่มีค่าเริ่มต้น นั่ง 10 กิโลเมตรจึงไม่ได้แพงเป็นสองเท่าของ 5 กิโลเมตรพอดี หรืออายุ ปีนี้พี่ 10 น้อง 5 ไม่ได้แปลว่าพี่จะอายุเป็นสองเท่าของน้องตลอดไป
5. ลืมรวมส่วน ตอนแบ่งของ เอา 900 หาร 3 คนเท่ากัน แทนที่จะหารด้วยจำนวนส่วนทั้งหมด

ฝึกช่วงปิดเทอมแบบไม่เครียด

• ใช้ครัวเป็นห้องเรียน ให้ลูกคำนวณสูตรอาหารเมื่อเพิ่มหรือลดจำนวนคน
• ทดสอบตัวเองแทนการอ่านซ้ำ งานวิจัยของ Roediger และ Karpicke (2006) พบว่ากลุ่มที่ฝึกดึงความรู้ออกมาด้วยการทำแบบทดสอบ จำเนื้อหาได้ดีกว่ากลุ่มที่อ่านซ้ำเมื่อทดสอบหลังผ่านไปหลายวัน ลองปิดตัวอย่างแล้วทำเองใหม่
• แหล่งฝึกฟรี Khan Academy ภาษาไทยมีบทเรียนอัตราส่วน และ Project 14 ของ สสวท. มีวิดีโอตามหลักสูตร

เรื่องนี้ใช้ต่อทันทีใน โจทย์ร้อยละ และถ้าอยากเช็กความพร้อมเรื่องอื่นด้วย ดู ทบทวนคณิตก่อนขึ้น ม.1

แบบฝึกหัดพร้อมเฉลย

1. ลดรูป $24:36$
2. หา $x$ จาก $\frac{4}{7}=\frac{x}{35}$
3. แบ่งขนม 45 ชิ้นให้พี่กับน้องในอัตราส่วน 4 : 5 แต่ละคนได้กี่ชิ้น
4. ถ้า $a:b=3:4$ และ $b:c=6:7$ จงหา $a:b:c$
5. แผนที่มาตราส่วน 1 : 200,000 วัดได้ 3.5 เซนติเมตร ระยะจริงกี่กิโลเมตร

เฉลย

1. หารด้วย 12 ได้ $2:3$
2. $7x=4\times 35=140$ ได้ $x=20$
3. รวม 9 ส่วน ส่วนละ 5 ชิ้น พี่ได้ 20 ชิ้น น้องได้ 25 ชิ้น
4. ทำ $b$ ให้เป็น 12 ได้ $a:b=9:12$ และ $b:c=12:14$ จึงได้ $9:12:14$
5. $3.5\times 200{,}000=700{,}000$ ซม. $=7{,}000$ ม. $=7$ กม.

ตีโจทย์ช่วยน้องเรื่องนี้ได้อย่างไร

• คำใบ้ทีละขั้น 5 ระดับ ขั้นแรกออกแบบให้เป็นคำถาม เช่น "ปริมาณไหนอยู่หน้า ปริมาณไหนอยู่หลัง" ถ้ายังติดจึงเตือนหลักการคูณไขว้ และมีตัวอย่างข้อคล้ายให้ดู
• เฉลยละเอียด 6 ส่วน มีขั้น "ตรวจคำตอบ" เช่น ตรวจว่าแบ่งแล้วรวมได้เท่าเดิม
• แผนที่การผจญภัยต่อบท และดาวความเข้าใจ ให้เห็นว่าน้องไปถึงไหนแล้วในบทอัตราส่วน
• ทบทวนแบบเว้นระยะอัตโนมัติ เมื่อเปิดให้ใช้ ระบบออกแบบให้วนโจทย์เก่ากลับมาให้ลองอีกครั้งในช่วงที่เหมาะสม

สรุป

อัตราส่วนเปรียบเทียบปริมาณสองปริมาณโดยลำดับสำคัญเสมอ อัตราส่วนที่เท่ากันได้จากการคูณหรือหารทั้งสองจำนวนด้วยจำนวนเดียวกัน สัดส่วนแก้ได้ด้วยการคูณไขว้ อัตราส่วนหลายจำนวนต้องทำตัวร่วมให้เท่ากันก่อน และการแบ่งของเริ่มจากการรวมจำนวนส่วน ก่อนตั้งสัดส่วนทุกครั้ง ถามตัวเองว่าเรื่องนี้เพิ่มขึ้นตามกันจริงไหม

ตีโจทย์กำลังเตรียมเปิดให้ใช้ ถ้าอยากลองเป็นกลุ่มแรก ลงชื่อรอไว้ได้ที่หน้าแรกของ teejot.com