ความน่าจะเป็น ม.3 เริ่มจากโยนเหรียญจนถึงโจทย์สอบ

ความน่าจะเป็น ม.3 คือการวัดว่าเหตุการณ์หนึ่ง "มีโอกาสเกิดขึ้นมากน้อยแค่ไหน" เป็นตัวเลขตั้งแต่ 0 ถึง 1 ถ้าผลลัพธ์แต่ละแบบมีโอกาสเกิดเท่ากัน ให้นับจำนวนผลลัพธ์ที่เราสนใจ แล้วหารด้วยจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด เท่านี้ก็ทำโจทย์ส่วนใหญ่ได้แล้ว จุดที่ต้องฝึกจริง ๆ คือการ "นับให้ครบและไม่ซ้ำ"

ตัวชี้วัด ค 3.2 ม.3/1 ให้น้องเข้าใจการทดลองสุ่มและนำผลไปหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ตามลำดับหนังสือเรียน บทนี้มักอยู่ในภาคเรียนที่ 2 ของ ม.3 ถ้าในห้องยังไม่ถึง การอ่านล่วงหน้าตอนนี้ก็ช่วยให้เข้าห้องแล้วตามทันสบาย ๆ และเป็นเนื้อหาที่ควรทวนก่อนสอบเข้า ม.4 ด้วย

ศัพท์สามคำที่ต้องรู้ก่อน

สูตรความน่าจะเป็น ม.3

เมื่อผลลัพธ์ทุกแบบมีโอกาสเกิดเท่า ๆ กัน

จากตาราง $P(\text{แต้มคู่}) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$

สมบัติที่ใช้ตรวจคำตอบได้ทันที

• $0 \le P(E) \le 1$ เสมอ
• เหตุการณ์ที่เกิดไม่ได้แน่นอน เช่น ทอดได้แต้ม 7 มีความน่าจะเป็น $0$
• เหตุการณ์ที่เกิดแน่นอน เช่น ได้แต้มไม่เกิน 6 มีความน่าจะเป็น $1$
• ความน่าจะเป็นที่ ไม่ เกิด $E$ คือ $1 - P(E)$

เพราะคำตอบมักเป็นเศษส่วน ทักษะการทำเศษส่วนอย่างต่ำจากประถมจะกลับมาใช้อีกครั้ง ถ้าอยากทวน อ่าน บวกลบเศษส่วน ได้

ไล่จากง่ายไปยาก 4 ขั้น

ขั้นที่ 1: เหรียญ 1 เหรียญ และลูกเต๋า 1 ลูก

โยนเหรียญบาทหนึ่งครั้ง $S = \{\text{หัว}, \text{ก้อย}\}$ ดังนั้น $P(\text{หัว}) = \dfrac{1}{2}$

ทอดลูกเต๋าหนึ่งครั้ง ความน่าจะเป็นที่ได้แต้มมากกว่า 4 คือ $E = \{5, 6\}$ ได้ $\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$

ขั้นที่ 2: เหรียญ 2 เหรียญ

โยนเหรียญสองเหรียญพร้อมกัน ให้ถือว่าเหรียญแต่ละเหรียญแยกกัน (เช่น เหรียญบาทกับเหรียญห้าบาท) จะได้

ความน่าจะเป็นที่ออกหัว หนึ่งเหรียญพอดี คือ $\{\text{หก}, \text{กห}\}$ ได้ $\dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$

ขั้นที่ 3: ลูกเต๋า 2 ลูก ใช้ตาราง

ทอดลูกเต๋าสองลูก ผลลัพธ์ทั้งหมดมี $6 \times 6 = 36$ แบบ วิธีที่ช่วยไม่ให้นับตกคือเขียนตาราง 6 x 6 ให้แถวเป็นลูกที่ 1 หลักเป็นลูกที่ 2 แล้วเติมผลรวมในช่อง

• ผลรวมเป็น 7 มี $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$ รวม 6 แบบ ได้ $\dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$
• ผลรวมเป็น 8 มี $(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)$ รวม 5 แบบ ได้ $\dfrac{5}{36}$

สังเกตว่า $(2,5)$ กับ $(5,2)$ นับเป็นคนละแบบ เพราะลูกที่ 1 และลูกที่ 2 ได้แต้มต่างกัน

ขั้นที่ 4: หยิบสลากหรือหยิบของ

ตัวอย่าง ขวดโหลบนโต๊ะคุณครูมีลูกอมรสสตรอว์เบอร์รี 5 เม็ด รสแอปเปิล 3 เม็ด รสส้ม 2 เม็ด หยิบมา 1 เม็ดโดยไม่มอง

• $n(S) = 5 + 3 + 2 = 10$
• $P(\text{แอปเปิล}) = \dfrac{3}{10}$
• $P(\text{ไม่ใช่แอปเปิล}) = 1 - \dfrac{3}{10} = \dfrac{7}{10}$

ตัวอย่างแนวข้อสอบ มีสลากเขียนเลข 1 ถึง 5 อย่างละใบ หยิบพร้อมกัน 2 ใบ ความน่าจะเป็นที่ผลบวกของเลขบนสลากเป็นเลขคู่เป็นเท่าไร

1. หยิบพร้อมกันจึงไม่สนลำดับ คู่ทั้งหมดมี $\{1,2\}, \{1,3\}, \{1,4\}, \{1,5\}, \{2,3\}, \{2,4\}, \{2,5\}, \{3,4\}, \{3,5\}, \{4,5\}$ รวม 10 คู่
2. ผลบวกเป็นคู่เมื่อเป็นคี่ทั้งคู่หรือคู่ทั้งคู่ ได้ $\{1,3\}, \{1,5\}, \{3,5\}, \{2,4\}$ รวม 4 คู่
3. ความน่าจะเป็น $\dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}$

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

• นับผลลัพธ์รวมกลุ่มผิด โยนเหรียญ 2 เหรียญ แล้วคิดว่าผลมีแค่ 3 แบบ คือ หัว 2 หัว 1 และหัว 0 จึงตอบว่าออกหัวหนึ่งเหรียญเป็น $\frac{1}{3}$ ที่ถูกคือ $\frac{1}{2}$ เพราะแบบ "หัว 1" เกิดได้สองทาง
• นับซ้ำหรือนับตก ในลูกเต๋าสองลูก ให้ใช้ตารางแทนการนึกในหัว
• สับสนเรื่องลำดับ ทอดลูกเต๋าสองลูกต้องนับ $(2,5)$ กับ $(5,2)$ แยกกัน แต่หยิบสลากพร้อมกันไม่ต้องนับลำดับ ให้ถามตัวเองก่อนทุกข้อว่าลำดับมีผลไหม
• ลืมทำเศษส่วนอย่างต่ำ $\frac{6}{36}$ ไม่ผิด แต่ถ้าตัวเลือกในข้อสอบเขียน $\frac{1}{6}$ อาจมองข้าม
• คิดว่าโอกาสมีความจำ ออกหัวติดกันหลายครั้งไม่ได้ทำให้ครั้งต่อไปมีโอกาสออกก้อยมากขึ้น

ถ้าพลาดข้อไหน ลองแยกว่าพลาดที่ "นับ" หรือพลาดที่ "คำนวณ" วิธีจดแบบนี้อยู่ใน วิเคราะห์ข้อผิดพลาดหลังสอบ

โจทย์ฝึกพร้อมเฉลย

1. ทอดลูกเต๋า 1 ลูก ความน่าจะเป็นที่ได้จำนวนเฉพาะ
2. โยนเหรียญ 2 เหรียญ ความน่าจะเป็นที่ได้ก้อยอย่างน้อย 1 เหรียญ
3. ทอดลูกเต๋า 2 ลูก ความน่าจะเป็นที่ได้แต้มเท่ากันทั้งสองลูก
4. ถุงผ้ามีลูกปิงปองสีแดง 4 ลูก สีฟ้า 6 ลูก หยิบ 1 ลูก ความน่าจะเป็นที่ไม่ได้สีแดง
5. โยนเหรียญ 3 เหรียญ ความน่าจะเป็นที่ออกหัว 2 เหรียญพอดี

เฉลย

1. จำนวนเฉพาะคือ $\{2, 3, 5\}$ ได้ $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
2. ใช้ส่วนเติมเต็ม เหตุการณ์ที่ไม่มีก้อยเลยคือ $\{\text{หห}\}$ มีโอกาส $\frac{1}{4}$ ดังนั้นคำตอบคือ $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
3. แต้มเท่ากันมี $(1,1)$ ถึง $(6,6)$ รวม 6 แบบ ได้ $\frac{6}{36} = \frac{1}{6}$
4. $\frac{6}{10} = \frac{3}{5}$
5. $n(S) = 2^3 = 8$ ออกหัว 2 เหรียญพอดีคือ หหก หกห กหห รวม 3 แบบ ได้ $\frac{3}{8}$

ใครกำลังวางแผนสอบเข้า ม.4 ดูภาพรวมการเตรียมตัวได้ที่ สอบเข้า ม.4 รอบทั่วไป

ตีโจทย์ช่วยฝึกความน่าจะเป็นได้อย่างไร

ตีโจทย์กำลังเตรียมเปิดให้ใช้ และออกแบบบทนี้ไว้ให้

• คำใบ้ทีละขั้น 5 ระดับ เช่น ถามก่อนว่า "ลำดับมีผลไหม" หรือ "ลองเขียนผลลัพธ์ทั้งหมดออกมาดูไหม" ก่อนจะทำขั้นแรกให้ดู
• เฉลยละเอียด 6 ส่วน ระบุว่าโจทย์ให้อะไร ถามอะไร นับผลลัพธ์อย่างไร ตรวจคำตอบด้วยสมบัติ $0 \le P(E) \le 1$ และชี้จุดที่มักนับพลาด
• โจทย์ท้าตีแตก ในภารกิจรายวัน ให้ลองโจทย์ที่ต้องคิดเรื่องลำดับหรือส่วนเติมเต็ม
• บอสสอบจำลอง ปิดท้ายบท ถ้ายังไม่ผ่านจะเป็นแค่ "บอสบาดเจ็บ" แล้วกลับมาสู้ใหม่ได้

สรุป

ความน่าจะเป็นเริ่มจากการเขียนผลลัพธ์ทั้งหมดให้ครบ แล้วนับผลลัพธ์ที่สนใจ หารกันเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ ตรวจทุกครั้งว่าคำตอบอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 ถ้าโจทย์ถาม "ไม่เกิด" หรือ "อย่างน้อย" ลองใช้ $1 - P(E)$ และถามตัวเองเสมอว่าลำดับมีผลหรือไม่ ฝึกจากเหรียญ ลูกเต๋า ไปจนถึงสลาก แล้วจะเห็นว่าโจทย์สอบก็ใช้หลักเดียวกัน

ตีโจทย์กำลังเตรียมเปิดให้ใช้ ถ้าอยากลองเป็นกลุ่มแรก ลงชื่อรอไว้ได้ที่หน้าแรกของ teejot.com